GLI AUTOVALORI DESCRIVONO SEMPRE LA REALTÀ FISICA?
Curiosità numeriche sull’analisi di buckling
I limiti degli elementi finiti resistenti alla sola trazione nel calcolo non lineare
Gli elementi di controvento sono generalmente disposti in coppia nell’ipotesi che, per un certo verso delle sollecitazioni orizzontali, solo uno dei due lavori a trazione; possono essere modellati con diverse modalità, in funzione del tipo di analisi da svolgere. Quando si deve ricorrere ad analisi dinamiche lineari, una strategia di modellazione consiste nella creazione di un materiale fittizio, con modulo elastico dimezzato rispetto a quello reale, al fine di cogliere globalmente il contributo di un solo elemento reagente per volta; in fase di verifica, l’ipotesi determina la necessità di raddoppiare le sollecitazioni calcolate sul singolo elemento. Esistono tecniche più raffinate, legate principalmente a metodologie di analisi non lineari dove la modellazione prevede l’utilizzo di bielle reagenti alla sola trazione: queste, come detto, prevedono tuttavia la necessità di svolgere più complesse analisi.
Consteel propone una terza soluzione, gestendo elementi finiti non lineari che forniscono rigidezza solo nel caso in cui risultino soggetti a trazione, anche nell’ipotesi di svolgere delle semplici analisi lineari; il risultato è ottenuto tramite un calcolo iterativo, dove viene eseguita una tecnica di linearizzazione in grado di restituire il risultato atteso. Questo può avvenire sia nel caso di sollecitazioni statiche, sia nel caso di analisi dinamiche.
Questo risultato è già di per sé oggetto di interesse, non essendo tale soluzione generalmente diffusa nei software di calcolo; oggi, tuttavia, si vuole analizzare un aspetto più generico legato all’utilizzo degli elementi resistenti alla sola trazione, sia nel caso di analisi non lineari pure, sia nel caso di analisi lineari con la tecnica di linearizzazione sopra citata.
La gestione degli elementi non lineari resistenti alla sola trazione è infatti sempre complessa nel caso in cui siano svolte analisi lineari finalizzate al calcolo degli autovalori, come nel caso delle analisi di stabilità e delle analisi dinamiche.
Un problema noto sul tema è dato dal caso di un semplice telaio dove, per l’effetto dei carichi verticali e in assenza di carichi orizzontali, si genera la compressione di entrambi gli elementi applicati “in coppia”. La differenza che nasce tra realtà fisica e ipotesi di calcolo è molto semplice:
- nel modello numerico, entrambe le aste sono escluse dai calcoli, poiché entrambe soggette a compressione;
- nella realtà, le cose sono ben diverse; quando la prima asta perde la sua stabilità, fosse anche per un semplice istante prima rispetto alla seconda, la struttura si inclina verso un lato; la seconda asta viene così mandata istantaneamente in trazione.
Questo problema numerico non è da considerarsi secondario nella progettazione: può infatti generare un valore di carico critico penalizzante, anche se riferito ad una combinazione di carico di fatto poco significativa per l’analisi di buckling; il risultato può così paradossalmente prevaricare quelli con maggior significato fisico, derivanti da combinazioni dove siano presenti carichi orizzontali (nella quali si ha certamente un’asta tesa e un’altra compressa e dove, pertanto, il presente problema numerico non può esistere).
Una possibile soluzione: gli elementi finiti X Brace
A partire da Consteel 17, si può gestire questo problema numerico tramite gli elementi finiti X Brace. Proviamo a capire di cosa si tratta:
- si ragiona di nuovo su elementi di controvento disposti in coppia;
- su ciascun elemento X Brace, Consteel dimezza l’area traversale e applica quindi la tecnica di linearizzazione classica;
- ricordando allora che l’analisi di stabilità prevede la risoluzione del seguente sistema:
dove Ks rappresenta la matrice di rigidezza, Kg la matrice geometrica, mentre acr sono gli autovalori, risulta che Consteel:
- esclude questi elementi dalla matrice geometrica, evitando così che si deformino come accadrebbe con un carico di compressione, seppure molto basso;
- considera sempre il contributo nella matrice di rigidezza, ma come scritto sopra considerando una “mezza sezione trasversale”.
In conclusione, questo approccio è in grado di svolgere un’analisi di stabilità in grado di rispecchiare il reale comportamento strutturale, restituendo inoltre un valore del carico critico significativamente più elevato rispetto a quello fornito dall’anomalia numerica oggetto della presente discussione.
Un esempio numerico
Ecco un esempio numerico di confronto tra i risultati forniti dagli elementi resistenti a trazione ed elementi X Brace in Consteel 17.
Si considera come un telaio 3D come quello in figura e si concentra l’attenzione sul telaio frontale qui evidenziato. I pilastri principali esterni presentano sezione IPE400, mentre i pilastri secondari interni IPE240; si nota la presenza di due elementi di controvento.
Si calcolano le forme di instabilità per la sola selezione denominata “telaio frontale”, applicando una combinazione di carico Lc-1 costituita dai soli casi di carico G1k e G2k (carichi verticali).
Le analisi lineari (svolte utilizzando la tecnica di linearizzazione menzionata in precedenza) forniscono il risultato atteso per gli elementi resistenti alla sola trazione: si nota sui controventi un’azione N = 0, mentre sui pilastri sono presenti sforzi di compressione.
Dall’analisi di stabilità, tuttavia, emerge il problema numerico menzionato: entrambi i controventi sono esclusi dal calcolo, poiché risultano entrambi compressi; nasce così una forma di instabilità caratterizzata da un autovalore molto basso (0.54), ma che non rispecchia una situazione realmente critica per la struttura.
Si utilizzano allora gli elementi X Brace per la modellazione dei controventi, al posto degli elementi resistenti alla sola trazione. Il risultato delle analisi lineari non cambia, continuando la tecnica di linearizzazione ad operare come noto.
Cambia invece il risultato delle analisi di buckling: i due controventi entrano in gioco con area dimezzata nella matrice di rigidezza, mentre non entrano nella matrice geometrica; si ottiene così un autovalore significativamente più alto (4.61) e riferito, stavolta, all’instabilità nel piano debole del montante centrale.
Conclusioni
L’introduzione degli elementi finiti X Brace consente di operare un artificio matematico che elimina dai risultati del calcolo una forma di buckling risultante dalla formulazione degli elementi resistenti alla sola trazione e priva di significato fisico. Risulta quindi un significativo (e fisicamente giustificato) aumento dell’autovalore critico:
- con elementi resistenti a sola trazione: acr = 0.54
- con elementi X Brace: acr = 4.61
Di conseguenza, le forme di instabilità più penalizzanti saranno quelle associate alle combinazioni comprensive degli effetti dei carichi orizzontali che invece, in un caso come il presente, sarebbero paradossalmente risultate meno significative.
L’introduzione degli elementi X Brace in Consteel si configura quindi come una nuova funzionalità che, molto probabilmente, cattuterà l’attenzione di tutti quei colleghi che, come me, credono che la validazione e la comprensione del calcolo automatico non siano semplicemente un obbligo professionale, ma una vera e propria passione con cui accompagnare la nostra attività di strutturisti.
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Ing. Federico Francia
